f 0 (x) = = = (731) ϕ0 (y) 2y3−1 2y3 − 1 2y2 Twierdzenie 15...

Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.

1 Jeżeli lewa strona równania
F (x, y) = 0
(732)
jest funkcją klasy C1 w pewnym otoczeniu U punktu (x0, y0) i jeżeli
F (x0, y0) = 0
Fy (x0, y0) 6= 0
(733)
to istnieje przedział H = (x0 − h, x0 + h) , h > 0, w którym istnieje dokładnie jedna funkcja
y = f (x)
(734)
taka, że
∧ F (x, f (x)) = 0
x∈H
oraz przyjmująca dla argumentu x0 wartość y0
y0 = f (x0)
Funkcja ta ma w przedziale H ciągłą pochodną daną wzorem
F
f 0 (x) = − x (x, f (x))
(735)
Fy (x, f (x))
Jest to wzór na pochodną funkcji uwikłanej. Otrzymujemy go z relacji
d
d
F (x, y) =
F (x, f (x)) = Fx + Fyf 0 = 0
d x
d x
Funkcj ę (734) nazywamy elementem funkcji uwikłanej zmiennej x danej równaniem
(732) w otoczeniu punktu (x0, y0). Jest to również rozwiązanie równania (732) wzgl ędem y w
otoczeniu punktu (x0, y0).
Twierdzenie 15.2 Jeżeli lewa strona równania
F (x, y) = 0
(736)
jest funkcją klasy C2 w pewnym otoczeniu U punktu (x0, y0) i jeżeli
F (x0, y0) = 0
Fy (x0, y0) 6= 0
to funkcja uwikłana y = f (x) dana równaniem (736) w otoczeniu punktu (x0, y0) jest funkcją
klasy C2 i zachodzą związki
F
−F 2Fxx + 2FxyFxFy − F 2Fyy
f 0 = − x (x, f (x))
f 00 =
y
x
(737)
Fy (x, f (x))
F 3
y
260
MATEMATYKA
15. FUNKCJE UWIKŁANE
Twierdzenie 15.3 Warunkiem wystarczającym na to, aby funkcja uwikłana y = f (x) dana
równaniem F (x, y) = 0, F ∈ C2, miała w punkcie (x, y) ekstremum właściwe jest, aby
F (x, y) = 0
Fx (x, y) = 0
(738)
oraz
Fy (x, y) 6= 0
Fxx (x, y) 6= 0
(739)
Jeżeli warunki te są spełnione, to charakter ekstremum zależy od znaku f 00, mianowicie
½
F
> 0 minimum
f 00 = − xx
F
< 0 maksimum
y
Przedstawioną teori ę zilustrujemy przykładami.
3
Przykład 15.1 Zbadać funkcj ę uwikłaną zmiennej
2.5
x daną równaniem
2
1.5
F (x, y) = x2y3 + y − 3
(740)
P 1
1
w otoczeniu punktu x
0.5
0 = 0, y0 = 3.
0
-3
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5
0
0.5 1
1.5 2
2.5 3
Rozwiązanie 15.1 Funkcja F (x, y) jest funkcją
-0.5
P
klasy C2. Stwierdzamy, że F (0, 3) = 0 oraz
2
-1
-1.5
Fx (x, y)
=
2xy3
Fx (0, 3)
=
0
F
-2
y (x, y)
=
3x2y2 + 1
Fy (0, 3)
=
1 6= 0
Fxx (x, y) = 2y3
Fxx (0, 3) = 54 6= 0
-2.5
Fxx (0, 3)
-3
f 00 (0) = −
= −54
Fy (0, 3)
Rysunek 110: Ekstrema funkcji F (x, y) =
Funkcja uwikłana y = f (x) dana równaniem
x2 − 2xy − 3y2 + 4 = 0.
(740) ma dla argumentu x = 0 w otoczeniu punktu
(0, 3) maksimum właściwe.
Przykład 15.2 Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej zmiennej x danej równaniem
F (x, y) = x2 − 2xy − 3y2 + 4 = 0
(741)
F
Rozwi
x
ązanie 15.2 Warunkiem koniecznym ekstremum funkcji y = f (x) jest f 0 = −
= 0,
Fy
a wi ęc
Fx (x, y) = 2x − 2y
(742)
Rozwiązując układ równań (741) i (742), otrzymujemy dwa punkty P1 = (1, 1) i P2 =
(−1, −1). Stwierdzamy, że w obu tych punktach spełniony jest warunek (739) oraz że f00 (1) >
0, f 00 (−1) < 0. Element funkcji uwikłanej danej równaniem (741) ma w punkcie P1 minimum.
Element funkcji uwikłanej danej równaniem (741) ma w punkcie P2 maksimum (patrz rysunek
110).
261
16. CAŁKA NIEOZNACZONA
MATEMATYKA
16
Całka nieoznaczona
16.1
Poj ęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej
Na wst ępie podamy definicj ę funkcji pierwotnej.
Definicja 16.1 Mówimy, że funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) na przedziale
E, gdy dla każdego x ∈ E wartość pochodnej funkcji F (x) jest równa wartości funkcji f(x),
tzn. gdy
F 0(x) = f (x) dla x ∈ E
(743)
Twierdzenie 16.1 (O funkcji pierwotnej)
Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) na przedziale x ∈ E, a symbol const oznacza
dowolną funkcj ę stałą na przedziale E, to funkcja Φ(x) określona wzorem
Φ(x) = F (x) + const dla x ∈ E
(744)
jest również funkcją pierwotną funkcji f (x) na przedziale E.
Dowód 16.1 Φ0(x) = F 0(x) + (const)0 = F 0(x) = f (x) dla x ∈ E.
Twierdzenie 16.2 (O różnicy funkcji pierwotnych)
Jeżeli F (x) i Φ(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) na przedziale E, to różnica tych
funkcji jest stałą na przedziale E
Φ(x) − F (x) = const dla x ∈ E
(745)
Dowód 16.2 Ponieważ F 0(x) = f(x), Φ0(x) = f(x) dla x ∈ E, wi ęc [Φ(x) − F (x)]0 = 0 =
(const)0 dla x ∈ E.
Wniosek 16.1 Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) na przedziale E, to wyrażenie
F (x) + const dla x ∈ E przedstawia dowolną funkcj ę pierwotną funkcji f (x) na przedziale E.
Uwaga 16.1 Funkcj ę stałą nazywamy krótko: stałą i oznaczamy C lub C1, C2, a także C0, C00
itp.
Twierdzenie 16.3 (O całce nieoznaczonej)
Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) na przedziale E, a C dowolną stałą, to
wyrażenie
F (x) + C dla x ∈ E
(746)
R
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) na przedziale E, oznaczamy symbolem f(x) d x58
i piszemy
Z
f (x) d x = F (x) + C
(747)
Uwaga 16.2 Używane są nast ępujące terminy:
f (x)
− funkcja podcałkowa
x
− zmienna całkowania
d x
− różniczka zmiennej całkowania
f (x) d x − wyrażenie podcałkowe
C
− stała całkowania
58 Czytamy: całka f od x d x.
262
MATEMATYKA
16. CAŁKA NIEOZNACZONA
Funkcje pot ęgowe
Funkcje wykładnicze
Z
Z
1
xn d x =
xn+1 + C,
n 6= −1
ex d x = ex + C
n + 1
Z
Z
1
1
d x = ln |x| + C
ax d x =
ax + C
a > 0,
a 6= 1
x
ln a
Funkcje trygonometryczne
Funkcje hiperboliczne
Z
Z
sin x d x = − cos x + C
sinh x d x = cosh x + C
Z
Z
cos x d x = sin x + C
cosh x d x = sinh x + C
Z
Z
tan x d x = − ln |cos x| + C
tanh x d x = ln cosh x + C
Z
Z
cot x d x = ln |sin x| + C