co najmniej trzech mężczyzn? Copyright c ⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński 78 Twierdzenia graniczne Wersja...

Strona startowa Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.---------------{t_lucretius_carus} Lukrecjusz{t_lucretius_carus_desc}Wiedza o naturze i jej aspektach, jak rwnie| swoboda w poezji, czyni z tego przedstawiciela epikureizmu miBego towarzysza dla my[lcego czBowieka************************************************************************************************************************************************************************************** Changes made after 01/03/2004 5:11:34 PM*********************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************** Changes made after 21/04/2004 9:00:00 AM*********************************************************************************************************************************************************************************{actor_effects_desc}WpBywy +1{aged_retainer_effects_desc}Zarzdzanie +1, +1 do osobistego bezpieczeDstwa (zwiksza szanse odkrycia i zapobiegnicia prbie zabjstwa){agriculturalist_effects_desc}+1 do produkcji rolniczej{animal_trader_effects_desc}WpBywy +1{architect_effects_desc}10% zni|ki do kosztw budowy, -1 do ndzy (zwiksza porzdek publiczny i wzrost populacji){armourer_effects_desc}+1 do morale dla wszystkich |oBnierzy na polu bitwy{artist_effects_desc}WpBywy +1, 10% zni|ki do kosztw Bapwki{astrologer_effects_desc}Dowodzenie +1, Zarzdzanie -1---------------{barbarian_slave} BarbarzyDski niewolnik{barbarian_slave_desc}"Drobna pamitka z podr|y za granicGdy zakoDczyB si sezon oratoryjny 1750, w ramach ktrego prawykonana zostaBa Teodora, Handel po raz ostatni wyprawiB si do Rzeszy, ktrej granice przekroczyB akurat w dniu [mierci Bacha (niewiele wcze[niej i jego |ycie znalazBo si podobno w niebezpieczeDstwie -w zwizku z wypadkiem powozu, ktrym podr|owaB przez Holandi)Zawarcia wzorcowej umowy zrzeszania zatwierdzonej przez KNF oraz posiadania w dniu zawarcia umowy co najmniej jednej akcji banku zrzeszającego lub jej...Uzdrowiciel Tinamon, który pomagał im przy tym, znalazł na poczekaniu proste wyjaśnienie:— S’loner wyglądał na zdrowego i sprawnego mężczyznę,...W każdym społeczeństwie ludzie klasyfikują się nawzajem jako mężczyźni i kobiety; na podstawie tego rozróżnienia przekonania i normy...Rubens usuwał poza miłość swe miłosne przygody, nie dlatego że był nieczuły, lecz dlatego że zamierzał je zamknąć w granicach sfery czysto erotycznej,...Twierdzenie o prawdopodobieDstwie logicznym zdania opiera si jednak nie tylko na owej konfrontacji zdaD, mwicej |e ze wzgldu na nie naszej hipotezie H przysBuguje prawdopodobieDstwo pKiedy Dorrin patrzył, dwóch mężczyzn zwolniło na poboczu i pozwoliło reszcie powlec się naprzód...Po dziesięciu minutach siostra Alma powróciła w towarzystwie wysokiego, przystojnego mężczyzny w białym fartuchu...Z całą stanowczością twierdzę, że z owego organu wywodzą się wszystkie czynności kobiety i wszystkie jej zachowania, które mogą przypominać uczucia u... 
 

Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.

11. Niech ξ(1) , . . . , ξ(400) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie ciągłym o wariancji σ 2, ustawionymi w porządku niemalejącym, tzn. ξ(1) ≤
· · · ≤ ξ(400). Niech m będzie medianą rozważanego rozkładu. Na podstawie Central-
nego Twierdzenie Granicznego wyznaczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa
P ( ξ(220) ≤ m).
16.12. Załóżmy, że ξ 1 , . . . , ξ 735 oraz η 1 , . . . , η 880 są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach D (3 / 7) oraz D (0 . 5), odpowiednio. Korzystając z Centralnego Twier-
(∑
∑
)
dzenia Granicznego obliczyć P
735 ξ
880 η .
i=1
i <
i=1
i
16.13. Zmienne losowe ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξn, . . . są niezależne o jednakowym rozkładzie
1
P ( ξn = 0) = P ( ξn = 1) = P ( ξn = 2) = P ( ξn = 3) =
.
4
Niech η 0 = 3 oraz niech dla n = 1 , 2 , . . . zachodzi
{ 3 ,
gdy ξ
η
n = 3,
n =
min {ηn− 1 , ξn}, gdy ξn < 3.
Obliczyć lim P ( ηn ≤ 1).
n→∞
16.14. Załóżmy, że η 1 , . . . , ηn, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie:
1
P ( ηn = 0) = P ( ηn = 1) = · · · = P ( ηn = 9) =
.
10
Niech ξ 0 = 0 oraz niech dla n = 1 , 2 , . . .
{ max {ξ
ξ
n− 1 , ηn},
gdy ηn > 0,
n =
0 ,
gdy ηn = 0.
Obliczyć granicę lim P ( ξn ≥ 3).
n→∞
16.15. Załóżmy, że ξ 1 , . . . , ξn, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
√
rozkładzie U (0 , 1). Rozważmy ciąg średnich geometrycznych n ξ 1 · · · ξn. Udowodnić, ( √
)
że lim P
n ξ 1 · · · ξn ≤ 1 = 0.
n→∞
3
16.16. Zmienne losowe ξ 1 , . . . , ξn, . . . są niezależne i mają identyczny rozkład U (0 , 2).
Niech ηn = ξ 1 · · · ξn. Obliczyć lim P ( ηn ≤ 0 . 5).
n→∞
16.17. Zmienne losowe ξ 1 , . . . , ξn, . . . są niezależne i mają identyczny rozkład U (0 , 2).
Niech ηn = ξ 1 · · · ξn. Udowodnić, że lim P ( ηn ≤ (2 /e) n) = 0 . 5.
n→∞
16.18. Niech ξ 1 , . . . , ξn będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
{ 2 x, dla x ∈ (0 , 1),
f ( x) =
0 ,
dla x ̸∈ (0 , 1).
∏
1
√
Niech η
n
n
n =
ξ . Udowodnić, że lim P {|η
n > e− 0 . 5 } = 0 . 046.
i=1
i
n − e− 0 . 5 |
n→∞
Copyright c
⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński
Wersja 22/10/2013
Twierdzenia graniczne
79
16.19. W urnie I znajdują się dwie kule i w urnie II znajdują się dwie kule. Na
te cztery kule w sumie składają się dwie kule białe i dwie czarne. Przeprowadzamy
następujące doświadczenie losowe.
a. najpierw losujemy jedną kulę z urny I i przekładamy ją do urny II,
b. następnie losujemy jedną kulę z urny II i przekładamy ją do urny I.
Sekwencję losowań a) i b) powtarzamy wielokrotnie. Przed każdym losowaniem do-
kładnie mieszamy kule w urnie. Niech pn(1) oznacza prawdopodobieństwo tego, że po
n powtórzeniach (czyli po 2 n losowaniach) w urnie I znajduje się jedna biała i jedna
czarna kula. Obliczyć lim pn(1).
n→∞
16.20. Na początku doświadczenia w urnie I znajdują się trzy kule białe, zaś w urnie
II trzy kule czarne. Losujemy po jednej kuli z każdej urny, po czym wylosowaną kule
z urny I wrzucamy do urny II, a tę wylosowaną z urny II wrzucamy do urny I.
Czynność te powtarzamy wielokrotnie. Obliczyć granicę (przy n → ∞) prawdopodo-
bieństwa, iż obie kule wylosowane w n-tym kroku są jednakowego koloru.
16.21. Urządzenie zawiera dwa podzespoły A i B. Obserwujemy działanie urządzenia
w chwilach t = 0 , 1 , 2 , . . . Każdy z podzespołów w ciągu jednostki czasu może ulec
awarii z prawdopodobieństwem 1 − p, niezależnie od drugiego. Jeśli w chwili t oba
podzespoły są niesprawne, następuje naprawa i w chwili t + 1 oba są już sprawne.
Jeśli w chwili t tylko jeden podzespół jest niesprawny, to nie jest naprawiany. W
chwili 0 oba zespoły są sprawne. Obliczyć granicę prawdopodobieństwa, iż podzespół
A jest sprawny w chwili t, przy t → ∞.
16.22. Rozważmy ciąg ξ 1 , . . . , ξn, . . . niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie N (0 , 1). Niech
Sn = ξ 1 ξ 2 + ξ 2 ξ 3 + · · · + ξn− 1 ξn + ξnξn+1 .
(
)
Udowodnić, że lim P
Sn
√ ≤ a = Φ( a) dla każdego a
n→∞
n
16.23. Zmienne losowe I 1 , . . . , In, . . . i ξ 1 , . . . , ξn, . . . są niezależne. Każda ze zmien-
nych Ii ma jednakowy rozkład D ( p). Każda ze zmiennych ξi ma jednakowy rozkład
∑
prawdopodobieństwa taki, że Eξ
n
i = µ i D 2 ξi = σ 2. Niech Sn =
I
i=1
iξi oraz
∑
K
n
n =
I
i=1
i. Zbadać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych loso-
wych Sn−Knµ
√
przy n → ∞.
n
16.24. Zmienne losowe ζ 1 , . . . , ζn i ( ξ 1 , η 1) , . . . , ( ξn, ηn) są niezależne. Każda ze zmiennych losowych ζi ma jednakowy rozkład D ( p). Każda ze zmiennych losowych ( ξi, ηi)
ma jednakowy rozkład prawdopodobieństwa taki, że Eξ i = E ηi = m, D 2 ξ i = D 2 ηi =
∑
∑
σ 2 i współczynnik korelacji Corr( ξ
n
n
i, ηi) = ϱ. Niech Sn =
ζ
ζ
i=1
iξi i Tn =
i=1
iηi.
Zbadać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych
Sn − Tn
√
przy
n → + ∞.
n
Copyright c
⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński
80
Twierdzenia graniczne
Wersja 22/10/2013
16.25. Załóżmy, że ξ 1 , . . . , ξn, . . . jest ciągiem zmiennych losowych takim, że zmienna
ξ 1 ma rozkład E (1 /λ); warunkowo, dla danych ξ 1 , . . . , ξn zmienna ξn+1 ma gęstość wykładniczą (dla wn+1 > 0)