Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.
Spełnia więc warunki, których ż ą daliś my od delty Diraca. Zatem:
∞
2
∫ ψ ∗
∗
( )
( )
=
2
( − ′) = 2
( − ′
k x ψ k
x dx
c
′
k c k ′ πδ k
k
π ck δ k k )
−∞
funkcje
ψ
ikx
k (x) = c k e
będą unormowane, jeż eli
2
2π c
= 1
k
Unormowane do delty Diraca funkcje własne energii i pędu dla czą stki swobodnej mają
postać :
ψ
ikx
k (x) =
1 e
2π
Specjalnego komentarza również nie wymaga zupełnoś ć układu funkcji własnych, gdyż
rozkład na nie sprowadza się do dobrze znanej transformacji Fouriera.
Operator parzystości.
Zanim przejdziemy do rozwią zywania następnego problemu, zdefiniujmy nowy bardzo
przydatny operator, jest nim operator parzystoś ci:
$Pψ(x) = ψ(−x)
Znajdź my jego widmo. Równanie własne ma postać :
$Pψ(x) = Pψ(x)
Podziałajmy operatorem parzystoś ci dwukrotnie na funkcję falową . Zgodnie z równaniem
własnym:
$P$Pψ(x) = $PPψ(x) = P2ψ(x) ,
a zgodnie z definicją operatora parzystoś ci:
$P$Pψ(x) = $Pψ(−x) = ψ(x)
Zatem P2 = 1
Operator parzystoś ci posiada dwie wartoś ci własne +1 i -1. wstawiają c tę informację do
równania własnego otrzymujemy:
$Pψ(x) = ψ(−x) = ±ψ(x)
Zatem wartoś ci własnej +1 odpowiadają funkcje parzyste, wartoś ci własnej -1 nieparzyste.
Zgodnie z postulatem II w mechanice kwantowej operatorowi parzystoś ci odpowiadać
powinna wielkość fizyczna. Nazywamy ją parzystoś cią . Zauważ my, ż e parzystoś ć nie jest
wielkoś cią fizyczną występują cą w mechanice klasycznej.
24
Prostokątna jama potencjału.
Jako następny przykład przedyskutujemy jednowymiarowy problem czą stki w obecnoś ci
potencjału zadanego warunkami:
L L
0
dla
x ∈ −
,
2 2
V(x) =
L L
V
dla
x
0
∉ − ,
2 2
W przypadku klasycznym mieli byś my dwie istotnie róż ne moż liwoś ci w zależ noś ci od
energii czą stki. Czą stka o energii większej od krawędzi studni poruszałaby się w
nieograniczonej przestrzeni, czą stka o energii mniejszej musiałaby znajdować się w jej
wnętrzu odbijają c się spręż yś cie od brzegów studni. Podobnie w przypadku kwantowym
oba zakresy energii E < V
>
0 i E
V0 wymagają oddzielnego rachunku. Energie układu
mniejsze od wysokoś ci krawędzi studni potencjału oznaczają , ż e czą stka utworzy stan
zwią zany w studni. Przy energiach większych od krawędzi czą stka będzie mogła opuś cić
studnię, tworzą c stany niezlokalizowane.
Ze względu na potencjał zależ ny od położ enia czą stki, operator pę du nie komutuje z
hamiltonianem. Pęd i energia nie mogą być okreś lone w tym samym stanie. Ponieważ
operator pędu nie uległ zmianie, jego wartoś ci i funkcje własne znamy. Poszukajmy wię c
stanów o okreś lonej energii.
Ponieważ potencjał dany jest parzystą funkcją położ enia, hamiltonian komutuje z operatorem
parzystoś ci:
2
2
2
2
2
2
h
h
h
$ $
d
d
d
PH =
−
P
+ V(x) ψ(x) = −
+ V(−x) ψ(−
−
x)
+ V(x) ψ(−x)
$ $
= HPψ(x)
2
2
2
2m dx
2m dx
2m dx
Powinien zatem istnieć wspólny ciąg wektorów własnych, stany o okreś lonej energii mogą
mieć okreś loną parzystoś ć . Własnoś ć ta pozwala nam na poszukiwanie dwóch rodzajów
funkcji własnych hamiltonianu - parzystych i nieparzystych. W obu przypadkach problem
równania własnego hamiltonianu ulega uproszczeniu. Wystarczy znaleź ć funkcje własne w
obszarze dodatnich wartoś ci x i skorzystać z okreś lonej parzystoś ci.