Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.

11 x − y − 3 = 0,
x + 3y − 11 = 0,
2x + y − 12 = 0
Przykład 7.12 Napisać w postaci proporcji podwójnej równanie prostej przechodzącej przez
punkt P0 i równoległej do wektora u, mając dane
a)
P0 = (1, −3, 0) ,
u = [3, −2, 5]
b)
P0 = (2, 3, 4) ,
u = [1, 1, 0]
c)
P0 = (2, 3, 4) ,
u = [0, 1, 0]
d)
P0 = (2, 3, 4) ,
u = [1, 0, 0]
118
MATEMATYKA
7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3
Rozwiązanie 7.12 Na podstawie definicji mamy
x − x0
y − y
z − z
=
0 =
0
p
q
r
Stąd
x − 1
y + 3
2
a)
=
=
3
−2
5
x − 2
y − 3
2 − 4
b)
=
=
, tzn. x − 2 = y − 3, z − 4 = 0
1
1
0
x − 2
y − 3
2 − 4
c)
=
=
, x = 2, z = 4, y− dowolne
0
1
0
x − 2
y − 3
2 − 4
d)
=
=
, y = 3, z = 4, x− dowolne
1
0
0
Przykład 7.13 Napisać w postaci parametrycznej równania prostej
x − 1
y − 3
2 − 5
a)
=
=
2
4
6
b)
2x + 3 = 4y + 5 = 8z
Rozwiązanie 7.13 Przyjmując
x − 1
y − 3
2 − 5
=
=
= t
2
4
6
otrzymujemy
x = 1 + 2t
y = 3 + 4t
z = 5 + 6t
Przyjmując
2x + 3 = 4y + 5 = 8z = t
otrzymujemy
3
t
5
t
t
x = − +
y = − +
z =
2
2
4
4
8
Przykład 7.14 Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez:
a)
punkt (1, −2, −1) i jest prostopadła do wektora [1, −3, 2],
b)
punkt (0, 2, 5) i jest równoległa do wektorów [1, 0, 0] i [2, 1, −3],
c)
punkty (1, 0, 5), (−1, 2, 2), (0, 3, 4),
x
x + 2
x − 3
d)
dwie proste równoległe l1 :
= y − 1 =
, l
= y = 2/3.
2
3
2 :
2
−−→
Rozwiązanie 7.14 Zgodnie z Twierdzeniem 7.15 mamy N · P0P = 0. A wi ęc
1 (x − 1) − 3 (y + 2) + 2 (z + 1) = 0
Stąd
x − 3y + 2z − 5 = 0
Zgodnie z Twierdzeniem 7.16
−−→
P0P = tu1 + su2
119
7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3
MATEMATYKA
A wi ęc
¯
¯
¯
¯
¯ x − 0 1
2 ¯
¯
¯
¯ y − 2 0
1 ¯ = 0
¯ z − 5 0 −3 ¯
Czyli
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0
1 ¯
¯ 1
2 ¯
¯ 1 2 ¯
x ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 −3 ¯ − (y − 2) ¯ 0 −3 ¯ + (z − 5) ¯ 0 1 ¯ = 0
3 (y − 2) + (z − 5) = 0
3y + z − 11 = 0
Zgodnie z Twierdzeniem 7.17 mamy
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ x − 1 −1 − 1 −1 ¯
¯ x − 1 −2 −1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ y − 0
2
3 ¯ = 0 = ¯ y
2
3 ¯ =
¯ z − 2 2 − 2
2 ¯
¯ z − 2
0
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 3 ¯
¯ −2 −1 ¯
¯ −2 −1 ¯
= (x − 1) ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 2 ¯ − y ¯ 0
2 ¯ + (z − 2) ¯
2
3 ¯ =
= 4 (x − 1) + 4y − 4 (z − 2) = 0
4x + 4y − 4z + 4 = 0, −→ x + y − z + 1 = 0
Patrz Twierdzenie 7.18, a = 2, b = 1, c = 3
¯
¯
¯
¯
¯ x − 0
2
3 ¯
¯
¯
¯ y − 1
1
−1 ¯ = 0
¯ z + 2
3
2 ¯
Stąd
x + y − z − 3 = 0
120
MATEMATYKA
8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE
8
Ciągi i szeregi liczbowe
8.1
Ciąg liczbowy i jego granica
Liczby naturalne
(1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .)
(346)
liczby parzyste dodatnie
(2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .)
(347)
liczby nieparzyste dodatnie
(1, 3, 5, 7, . . . , 2n − 1, . . .)
(348)
odwrotności liczb naturalnych
µ
¶
1 1 1
1
1, , , , . . . ,
, . . .
(349)
2 3 4
n
są przykładami ciągów.
Definicja 8.1 Funkcj ę odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych
R
f : N −→ R
(350)
nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych lub ciągiem liczbowym
albo krótko: ciągiem i oznaczamy
(an) lub (a1, a2, . . . , an, . . .)
(351)
Symbol n nazywamy wskaźnikiem, a an wyrazem o wskaźniku n albo n− tym
wyrazem ciągu liczbowego. Do zdefiniowania ciągu liczbowego wystarczy wi ęc podać wzór
na jego n− ty wyraz.
Uwaga 8.1 Mając na uwadze informacje uzyskane w szkole średniej, zauważamy, że odwzoro-
wanie (350) charakteryzuje si ę tym, że jego argumentami są kolejne liczby naturalne. Nie jest
wi ęc odwzorowaniem, które ogólnie nazywamy odwzorowaniem ciągłym. Funkcj ę zależną
od argumentu zmieniającego si ę skokowo nazywamy funkcją dyskretną. Jej wartości są
punktami o współrz ędnych (n, f (n)) lub (n, an) (patrz rysunki w dalszej cz ęści wykładu).
Ciąg arytmetyczny (p− pierwszy wyraz, d− różnica ciągu)
(p, p + d, p + 2d, p + 3d, . . . , p + (n − 1) d, . . .)
(352)
oraz ciąg geometryczny (p− pierwszy wyraz, q− iloraz ciągu)
¡
¢
p, pq, pq2, pq3, . . . , pqn−1, . . .
(353)
są przykładami ciągów bardziej złożonych.
Szczególnym przypadkiem ciągu jest ciąg o takich samych wyrazach - ciąg stały (c−
dowolna liczba)
(c, c, c, . . . , c, . . .)
(354)
który jest jednocześnie ciągiem geometrycznym (q = 1) i arytmetycznym (d = 0).
121
8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE
MATEMATYKA
Innymi przykładami ciągów są odwzorowania
(−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n , . . .)
(355)
µ
µ
¶
¶
1
10
113
1 n
2, 2 , 2
, 2
, . . . , 1 +
, . . .
(356)
4
27
256
n
¡ √ √ √
√
¢
c,
c, 3 c, 4 c, . . . , n c, . . .
(357)
³ √ √ √
√
´
1,
2, 3 3, 4 4, . . . , n n, . . .
(358)
µ
¶
1 2 3 4
n
, , , , . . . ,
, . . .
(359)
2 3 4 5
n + 1
W ciągu liczbowym bardzo ważne jest uporządkowanie wyrazów. Ciągi
(1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .)
(360)
i
(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .)
(361)
pomimo tej samej liczby zer i jedynek są różne, ponieważ ich wyrazy są inaczej uporządkowane.
Definicja 8.2 Mówimy, że ciąg (an) jest:
1. rosnący (silnie rosnący), jeżeli15
∀n ∈ N
an < an+1
(362)
2. niemalejący (słabo rosnący), jeżeli
∀n ∈ N
an ≤ an+1
(363)
3. malejący (silnie malejący), jeżeli
∀n ∈ N
an > an+1
(364)
4. nierosnący (słabo malejący), jeżeli
∀n ∈ N
an ≥ an+1
(365)
5. monotoniczny, jeżeli jest niemalejący lub nierosnący,
6. silnie monotoniczny, jeżeli jest rosnący lub malejący.