f ( x ) = f ( x ) dla x ; x 2 R ,...

Strona startowa Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.Zebrany wywiad wskazywał na klasyczny przypadek walki o dominację...Rozwiązanie zadania z fizyki 10...AlphonsaprzeciwnikiemPrzypomniał sobie wydarzenia ubiegłej nocy, wyraźnie i dokładnie w każdymszczególe...Obi-Wan Kenobi i Anakin Skywalker mknęli turbowindą na najwyższe poziomy gmachu apartamentów senackich...W sprawie tego aspektu twórczości Peirce'a zob: Feibleman (1964), Gallie (1952)...tą samą rzeczywistość (w sztuce nie chodzi o dzieła, ale o to, na co się one otwierają, o to otwarcie)...Viqi, idąc obok Denui Ku tuż za zwierzętami, wzdrygnęła się lekko...pośpiesznie, chociaż w milczeniu... 
 

Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.


P
oniew
a»
w
pier±cieniu R
nie
ma
dzielnik ó
w
zera
i
a
6=
0
,
1
2
wi¦c
x
x
=
0
,
co
oznacza,
»e
x
=
x
i
k
o«czy
do
w
ó
d
ró»no
w
arto±cio w
o±ci
1
2
1
2
funk
cji
f
.
Wyk
orzystuj¡c zaªo»enie,
»e
pier±cie«
R
jest
sk
o«czon
y
,
oraz
fakt,
»e
k
a»da
funk
cja
ró»no
w
arto±cio w
a
na
zbiorze sk
o«czon
ym
jest
funk
cj¡
ÿna", wnioskujem y
,
»e
funk
cja
f
jest
ÿna".
W
szczególno±ci istnieje elemen
t
b
2
R
taki,
»e
f
(
b
)
=
1
,
tzn.
ab
=
1
.
54.
Wiem
y
,
»e
f
=
q
(
X
1)(
X
2)
+
h
dla
p
ewn
yc
h
wielomianó w
q
;
h
2
R
[
X
]
,
przy
czym
h
=
aX
+
b
dla
a;
b
2
R
.
Wyk
orzystuj¡c zaªo»enia wiem
y
,
»e
h
(1)
=
f
(1)
=
2
i
h
(2)
=
f
(2)
=
1
,
sk
¡d
otrzym
ujem
y
ukªad
ró
wna«

a
+
b
=
2
2
a
+
b
=
1
:
Rozwi¡zuj¡c p
o
wy»szy
ukªad
ró
wna«
dosta
jem
y
a
=
1
i
b
=
3
,
zatem
reszta
z
dzielenia wielomian u
f
przez
(
X
1)(
X
2)
jest
ró
wna
X
+
3
.
2
55.
(a)
.
d
=
1
,
u
=
1
,
v
=
X
.
1
1
1
2
55.
(b)
.
d
=
X
1
,
u
=
X
+
,
v
=
X
X
+
1
.
4
4
4
2
55.
(c)
.
d
=
X
2
,
u
=
X
1
,
v
=
X
+
2
.
2
3
56.
Znalezienie o
dwrotno±ci do
w
arst
wy
wielomian u
1
+
X
w
R
[
X
]
=
(
X
)
jest
ró
wno
w
a»ne
znalezieniu wielomian u
f
2
R
[
X
]
sp
eªnia
j¡cego
w
arunek
2
3
f
(1
+
X
)
=
1
(mo
d
X
)
.
Korzysta j¡c
z
algorytm u
Euklidesa otrzym
ujem
y
,
2
3
»e
(1
+
X
;
X
)
=
1
oraz
2
2
3
1
=
(1
X
)(1
+
X
)
+
X

X
;
2
a
wi¦c
mo»em
y
przyj¡¢
f
=
1
X
.
Zatem
o
dwrotno±ci¡
do
w
arst
wy
wielo-
2
3
2
mian
u
1
+
X
w
R
[
X
]
=
(
X
)
jest
w
arst
w
a
wielomian u
1
X
.
2.5
Ciaªa
sk
o«czone 2
3
3
2
4
57.
F
:
X
,
X
+
1
,
X
+
X
+
1
,
X
+
X
+
1
,
X
+
X
+
1
,
X
+
X
+
1
,
2
4
3
4
3
2
X
+
X
+
1
,
X
+
x
+
X
+
X
+
1
.
18
2
2
2
3
F
:
X
,
X
+
1
,
X
+
2
,
X
+
1
,
X
+
X
+
2
,
X
+
2
X
+
2
,
X
+
2
X
+
1
,
3
3
3
2
3
2
3
2
3
2
X
+
2
X
+
2
,
X
+
X
+
2
,
X
+
X
+
X
+
2
,
X
+
X
+
2
X
+
1
,
X
+
2
X
+
1
,
3
2
3
2
4
4
4
2
X
+
2
X
+
X
+
1
,
X
+
2
X
+
2
X
+
2
,
X
+
X
+
2
,
X
+
2
X
+
2
,
X
+
X
+
2
,
4
2
4
2
4
3
4
3
4
3
2
X
+
X
+
2
X
+
1
,
X
+
2
X
+
2
,
X
+
X
+
2
,
X
+
X
+
2
X
+
1
,
X
+
X
+
X
+
1
,
4
3
2
4
3
2
4
3
2
X
+
X
+
X
+
X
+
1
,
X
+
X
+
X
+
2
X
+
2
,
X
+
X
+
2
X
+
2
X
+
2
,
4
3
4
3
4
3
2
4
3
2
X
+
2
X
+
2
,
X
+
2
X
+
X
+
1
,
X
+
2
X
+
X
+
1
,
X
+
2
X
+
X
+
X
+
2
,
4
3
2
4
3
2
X
+
2
X
+
X
+
2
X
+
1
,
X
+
2
X
+
2
X
+
X
+
2
.
16
2
4
4
3
58.
(a)
.
X
X
=
X
(
X
+
1)(
X
+
X
+
1)(
X
+
X
+
1)(
X
+
X
+
4
3
2
1)(
X
+
X
+
X
+
X
+
1)
.
9
2
2
2
58.
(b)
.
X
X
=
X
(
X
+
1)(
X
+
2)(
X
+
1)(
X
+
X
+
2)(
X
+
2
X
+
2)
.
27
3
3
3
58.
(c)
.
X
X
=
X
(
X
+
1)(
X
+
2)(
X
+
2
X
+
1)(
X
+
2
X
+
2)(
X
+
2
3
2
3
2
3
2
3
2
X
+
2)(
X
+
X
+
X
+
2)(
X
+
X
+
2
X
+
1)(
X
+
2
X
+
1)(
X
+
2
X
+
3
2
X
+
1)(
X
+
2
X
+
2
X
+
2)
.
59.
Je±li
k
oznacza liczb
¦
unormo
w
an
yc
h
wielomianó w
nierozkªadaln;p
n
yc
h
stopnia n
nad
ciaªem
F
,
to
k
orzysta j¡c
ze
wzoru
in
w
ersyjnego M
obiusa
p
P
n
1
d
mam
y
k
=

(
d
)
p
,
gdzie

jest
funk
cj¡
M
obiusa.
St¡d
k
=
2
,
n;p
1
;
2
d
j
p
n
k
=
1
,
k
=
2
,
k
=
3
,
k
=
6
,
k
=
9
,
k
=
18
,
k
=
30
,
k
=
3
,
2
;
2
3
;
2
4
;
2
5
;
2
6
;
2
7
;
2
8
;
2
1
;
3
k
=
3
,
k
=
8
,
k
=
18
,
k
=
48
,
k
=
116
,
k
=
312
,
k
=
810
.
2
;
3
3
;
3
4
;
3
5
;
3
6
;
3
7
;
3
8
;
3
0
4
2
2
2
2
60.
(a)
.
(
f
;
f
)
=
X
+
X
+
1
=
(
X
+
X
+
1)
,
wi¦c
f
=
(
X
+
X
+
2
3
1)
(
X
+
X
+
1)
.
0
6
2
3
2
2
2
60.
(b)
.
(
f
;
f
)
=
X
+
1
=
(
X
+
1)
,
wi¦c
f
=
(
X
+
1)
(
X
+
X
+
2)
.
0
4
2
2
2
2
3
3
60.
(c)
.
(
f
;
f
)
=
X
+
4
X
+
4
=
(
X
+
2)
,
wi¦c
f
=
(
X
+
2)
(
X
+
X
+
1)
.
0
61.
(a)
.
Nie,
gdy»
(
f
;
f
)
6=
1
.
0
61.
(b)
.
T
ak,
gdy»
(
f
;
f
)
=
1
.
0
61.
(c)
.
T
ak,
gdy»
(
f
;
f
)
=
1
.
2
62.
(a)
.
P
oniew
a»
wielomian x
+
1
nie
p
osiada
pierwiastk ó
w
w
ciele
F
,
3
2
wi¦c
F
:=
F
[
X
]
=
(
X
+
1)
.
Oznaczm y
przez

w
arst
w
¦
wielomian u
X
w
ciele
9
3
F
.
Wtedy
pierwiastk ami
wielomian u
f
s¡

i
2

.
9
62.
(b)
.
Pierwiastk ami
wielomian u
f
s¡

i
2
+
2

,
gdzie

jest
w
arst
w
¡
2
wielomian u
X
w
ciele
F
:=
F
[
X
]
=
(
X
+
X
+
2)
.
9
3
19
62.
(c)
.
Pierwiastk ami
wielomian u
f
s¡

i
3
+
4

,
gdzie

jest
w
arst
w
¡
2
wielomian u
X
w
ciele
F
:=
F
[
X
]
=
(
X
+
2
X
+
3)
.
2
5
5
p
p
p
63.
P
oniew
a»

62
F
,
wi¦c

6=

.
Z
drugiej stron
y
a
=
a
i
b
=
b
.
p
p
2
p
2
p
p
p
2
p
p
St¡d
(

)
+

a
+
b
=
(

)
+
(

a
)
+
b
=
(

+

a
+
b
)
=
0
,
a
wi¦c

2
p
jest
drugim
pierwiastkiem wielomian u
X
+
aX
+
b
,
zatem

+

=
a
i
p
+1
p
p

=
b
.
Z
p
o
wy»szyc h
ró
wno±ci
wynik
a,
»e
(
c
+
d
)
(
c
+
d
)
=
(
c
+
d
)(
c
+
2
p
+1
p
2
2
2
d
)
=
c

+
cd
(

+

)
+
d
=
c
b
cda
+
d
,
co
b
yªo
do
udo
w
o
dnienia.
101
20
5
(2
+
3
i
)
=
((2
+
3
i
)
)
(2
+
3
i
)
=
9
+
4
i
.
P
p
0
p
1
0
i
64.
Je±li
f
=
g
,
to
f
=
pg
g
=
0
.
Z
drugiej stron
y
,
gdy
f
=
a
X
i
i
0
p
oraz
f
=
0
,
to
a
6=
0
t
ylk
o,
gdy
p
j
i
.
P
oniew
a»
a
=
a
dla
a
2
F
,
wi¦c
i
p
P
P
p
pj
j
p
otrzym
ujem
y
w
ten
sp
osób,
»e
f
=
a
X
=
(
a
X
)
,
co
k
o«czy
pj
pj
j
j
do
w
ó
d.
2.6
Elemen
t
y
teorii
grup
65.
(a)
.
Nie,
gdy»
nie
jest
to
zbiór
zamkni¦t y
ze
wzgl¦du na
o
dejmo
w
a-
nie.
65.
(b)
.
T
ak.
65.
(c)
.
T
ak.
65.
(d)
.
T
ak.
65.
(e)
.
Nie,
gdy»
nie
jest
to
zbiór
zamkni¦t y
ze
wzgl¦du na
do
da
w
anie.
66.
(a)
.
Nie,
gdy»
nie
istnieje elemen
t
o
dwrotn
y
do
0
.
66.
(b)
.
T
ak.
66.
(c)
.
T
ak.
66.
(d)
.
Nie,
gdy»
nie
istniej¡
liczb
y