Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.
Nie usuwaj wykresów.
WICZENIE 18 – Aproksymacja
Aproksymacja stanowi uogólnione zagadnienie interpolacji. Zadanie
sformułowane jest podobnie, lecz nie
da si w tym przypadku, by w
w złach funkcja pierwotna i poszukiwana miały te same warto ci.
Pojawia si zatem poj cie bł du aproksymacji, który okre la si jako ró nic warto ci obu funkcji. Zadaniem metod numerycznych jest minimalizacja bł du
aproksymacji. Aproksymacja redniokwadratowa (zwana metod najmniej-
szych kwadratów) wielomianami wybranego stopnia jest najcz ciej
stosowana. Polega ona na minimalizacji bł du aproksymacji, zdefiniowanego
jako suma kwadratów odchyłek we wszystkich punktach w złowych:
n
2
[ F( x − f x
i )
( i)]
i =0
Do aproksymacji stosuje si dwie funkcje:
p=polyfit(x,y,n) – wyszukuje współczynniki p wielomianu aproksymuj cego:
x i y - wektory zawieraj ce współrz dne punktów w złowych,
n – rz d wielomianu;
yw=polyval(p,xw) – oblicza warto ci wielomianu aproksymuj cego
w punktach okre lonych wektorem xw:
p – wektor współczynników wielomianu,
xw – wektor współrz dnych niezale nych dla których
wyznacza si warto ci wielomianu.
str. 39
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Aproksymacj stosuje si najcz ciej, gdy punkty w złowe pochodz z bada
eksperymentalnych. Wyniki zazwyczaj obarczone s bł dem i stosowanie
interpolacji nie ma sensu. Cz sto za zale y prowadz cemu eksperyment na
opisaniu zale no ci analityczn charakteru obserwowanych zjawisk.
Jednym z pyta , na które trzeba odpowiedzie , to „jakiego rz du ma by wielomian opisuj cy wyniki bada eksperymentalnych”. My b dziemy t
warto dobiera intuicyjnie (mała liczba całkowita).
Zadanie 27
Problem analogiczny, jak w zadaniu poprzednim. Ró nica polega na tym,
e ograniczenia konstrukcyjne nie s „sztywne”. Mo na wi c krzyw
opisuj c lini karoseri poprowadzi w pobli u punktów w złowych.
Metod aproksymacji zaprojektuj lini nadwozia w przedniej cz ci
samochodu.
1. Utwórz nowe okno wykresów i ustaw rysowanie kilku krzywych
w jednym oknie.
2. Oce rezultaty aproksymacji analizuj c odpowiednie wykresy.
3. Porównaj:
rezultaty działa przy dobieraniu coraz wi kszego rz du
wielomianu aproksymuj cego,
wyniki najlepsze z najlepszymi wynikami z zadania
poprzedniego (interpolacja).
4. Pami taj, e:
wyniki musisz przekaza do działu projektuj cego formy
tłocz ce elementy karoseri , podaj c współrz dne lini
nadwozia z krokiem 1 cm,
wyniki musisz zapisa w pliku.
Zadanie 28
W zadaniu porównaj wykre lnie (na jednym rysunku) i liczbowo dwie
sytuacje.
Sytuacja 1. Wygeneruj n punktów w pobli u prostej wyj ciowej
o zadanych współczynnikach a, b w pewnym przedziale
argumentów x. Argumenty te zawsze zaczynaj si od 0
i przyrastaj ze stałym krokiem krok_x. Do wygenerowania
tych punktów musisz utworzy funkcj , która ma
argumenty: a, b, n, krok_x, rozrzut_losowania. Prost
y=ax+b
oraz punkty wokół niej poło one narysuj na wykresie.
Sytuacja 2. Zapomnij na chwil , e istnieje ju prosta wyj ciowa. Za to
punkty wygenerowane wokół prostej potraktuj jako punkty
pochodz ce z pomiarów pewnego zjawiska, które ma
charakter liniowy (daje si według teori opisa równaniem
prostej). Maj c te punkty, poszukaj metod aproksymacji
równania prostej, która do nich „najlepiej pasuje”. Na tym
samym wykresie co poprzednio narysuj t znalezion
prost .
str. 40
HM
Matlab_cw_15__19.doc
M A T L A B
Porównaj:
wykresy prostej wyj ciowej i znalezionej,
warto ci współczynników równania prostej wyj ciowej i prostej
znalezionej metod aproksymacji.
Przykładowy wykres otrzymany przy rozwi zywaniu tego zadania
pokazuje rysunek.
Ju teraz wiesz dlaczego naukowcy bardzo si ciesz , gdy mog powiedzie ,
e wyniki ich bada uzyskane s z dokładno ci do 10%.
WICZENIE 19 – Całkowanie numeryczne
Obliczanie warto ci całek oznaczonych, to problem do powszechny i cz sto
trudny, gdy nie jest znana funkcja pierwotna analizowanej funkcji. Stosuje si
wtedy metody przybli one, numeryczne. Cała istota tych metod zasadza si na jak najdokładniejszym obliczeniu pola powierzchni pod krzyw całkowan .
Istnieje wiele algorytmów prowadz cych do wyniku z ró n dokładno ci . Nie