Ludzie pragną czasami się rozstawać, żeby móc tęsknić, czekać i cieszyć się z powrotem.
Implikacja jest o tyle pojęciem absolutnym, o ile może ona
istnieć między dwoma zdaniami bez żadnego odniesienia do systemu aksjomatycznego;
przeciwnie wyprowadzalność, musi ona zawsze być rozważana w relacji do jakiegoś systemu
7
aksjomatycznego.
Implikacja zachodzi między dwoma zdaniami - poprzednikiem A i następnikiem B -
dokładnie wtedy, gdy A jest fałszywe i B jest prawdziwe, albo gdy A i B są jednocześnie
fałszywe, bądź prawdziwe. Z definicji tej wynika, że implikacja nie zachodzi tylko w jednym
wypadku, mianowicie wtedy, gdy poprzednik ( A) jest prawdziwy, a następnik ( B) fałszywy;
we wszystkich innych wypadkach, czymkolwiek mogłyby być A i B, implikacja ma miejsce.
W szczególności zdanie fałszywe implikuje każde zdanie, a zdanie prawdziwe jest
implikowane przez każde zdanie. Przykładami (gdy zechcemy “jeżeli - to” nadać taki właśnie
sens) mogą być: “Jeżeli 2 + 2 = 5, to każdy pies jest rybą” ; “Jeżeli 2 + 2 = 5, to każdy
zdrowy pies ma 4 łapy” ; “Jeżeli 2 + 2 = 4, to 1 = 1”.
Jest to, jak łatwo można zauważyć, bardzo dziwna interpretacja zwykle używanego “jeżeli
- to” i, co gorsza, prowadzi ona do trudności metodologicznych. Już megarejczycy (Diodor
Kronos), i potem scholastycy próbowali uniknąć tych trudności w ten sposób, że implikację
definiowali za pomocą (modalnego) funktora możliwości: “Jeżeli A, to B” miało zgodnie z
tym znaczyć tyle co “Nie jest możliwe, że A i nie B”. Taką samą definicję sformułował
ponownie w 1918 roku C. I. Lewis. Definicja ta nie usunęła jednak trudności; gdyż w
wypadku zastosowania tej (nazwanej “ścisłą”) definicji Diodora względnie Lewisa, nie
powstaje wprawdzie twierdzenie, że implikacja zachodzi między każdym fałszywym i
dowolnym prawdziwym zdaniem, ale za to powstaje analogiczne twierdzenie, że zachodzi
ona między każdym niemożliwym a każdym dowolnym innym zdaniem.
Logika matematyczna oferuje jeszcze inne, podobne pojęcie, mianowicie pojęcie
wyprowadzalności. Mówi się że, B jest wyprowadzalne z A w systemie S wtedy i tylko
wtedy, gdy S zawiera aksjomaty i reguły, które pozwalają pokazać, że gdy A należy do S, to
także B należy do S. Następujący prosty przykład może unaocznić różnicę między implikacją
a wyprowadzalnością. Niech to będzie klasyczny sylogizm:
(1) Wszyscy ludzie są śmiertelni.
(2) George Boole był człowiekiem.
(3) George Boole był śmiertelny.
Ponieważ tutaj (2) i (3) są prawdziwe, to przesłanka mniejsza (2) implikuje wniosek (3).
Jednak wyłącznie z (2) w ramach zwykłej logiki nie da się wyprowadzić (3). (3) da się
wyprowadzić tylko z obu wcześniejszych zdań, tzn. z (1) i (2). (3) jest zatem implikowane
przez (2), ale nie jest wyprowadzalne wyłącznie z (2).
Oczywiście ze zdania fałszywego, wyłącznie na podstawie jego fałszywości, nie można
nic wyprowadzić; z drugiej strony, zdanie prawdziwe tylko przez to, że jest prawdziwe, nie
jest wyprowadzalne z każdego innego zdania. Pod pewnym względem więc pojęcie
wyprowadzalności znajduje się bliżej naturalnego pojęcia konsekwencji niż pojęcie
implikacji. Jednakże naturalne pojęcie konsekwencji posiada pewne własności wspólne z
implikacją i, dodatkowo, wydaje się ono obejmować przyczynowość w sensie
ontologicznym. Dlatego ścisłe postępowanie wymaga dokładnego i konsekwentnego
oddzielenia implikacji i wyprowadzalności.
15. Definicja i tworzenie pojęć
Podstawowe typy definicji. Słowo “definicja” określa prawie każdą odpowiedź na pytanie
“Co to jest x?”, przy czym za “x” może być podstawione jakiekolwiek stałe wyrażenie. Jest
oczywiste, że odpowiedzi mogą być tak różne, iż słowo “definicja” jest samo wieloznaczne.
8
Pierwszym odróżnieniem typów